Makalah Hukum-hukum Aljabar Proposisi

MAKALAH

PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

DISUSUN OLEH:

NURHAVIDA

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MAHAPUTRA MUHAMMAD YAMIN

(U M M Y)

2013

BAB I

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta hidayahNya kepada penulis. Karena berkat rahmat dan hidayahNyalah, penulis dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya. Tanpa anugerah ilmu yang diberikan Allah SWT, penulis tidak akan bisa menyelesaikan makalah ini sesuai yang diharapkan. Salawat serta salam tidak lupa kita kirimkkan buat junjungan kita, nabi besar Muhammad SAW yang telah bersusah payah mendidik umat manusia dari alam yang tidak tahu akan apa-apa kepada zaman yang berpengetahan tinggi serta bertekhnologi canggih seperti saat sekarang ini.

Penulis mengucapkan banyak terima kasih pada pihak-pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan makalah ini. Terutama pada orang tua penulis, yang tidak bosan-bosannya memberikan support kepada penulis, baik itu support moril maupun materi. Ucapan terima kasih juga tidak lupa penulis aturkan kepada dosen pembimbing mata kuliah Pengantar Dasar Matematika, yang dengan sabar membimbing penulis dalam penyusunan makalah ini. Selanjutnya kepada teman-teman atau rekan-rekan penullis yang telah menyumbangkan pemikirannya kepada penulis.

Makalah ini penulis susun atas tugas yang telah di berikan oleh dosen pembimbing mata kuliah Pengantar Dasar Matematika. Makalah yang berjudul “Hukum Aljabar Proposisi dan Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi, Ekuivalen Logis”bertujuan untuk mengetahui hukum-hukum aljabar proposisi serta operasi yang ada dalamaljabar proposisi tersebut. Penulis berharap semoga makalah ini dapat dimanfaatkan oleh pembaca sebagaimana mestinya., terutama penulis. Penulis menyadari dalam penyusunan makalah ini banyak mengalami kekurangan dan kesalahan, oleh karena itu, penulis memiinta saran serta kritiknya demi tulisan yang lebih baik nantinya.

                                                                                    Solok, 06 November  2012

Kelompok 7

DAFTAR ISI

Kata Pengantar................................................................................................... i

Daftar Isi............................................................................................................ ii

BAB I PENDAHULUAN................................................................................ 1

1. Latar Belakang Masalah..................................................................... 1

2. Rumusan Masalah.............................................................................. 1

BAB II PEMBAHASAN................................................................................. 2

1 Hukum-hukum Aljabar Proposisi........................................................ 2

2 Pembuktian Hukum-hukum Aljabar Proposisi.................................... 2

3 Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi,dan Ekuivalen Logis................ 8

BAB III PENUTUP........................................................................................ 15

1. Kesimpulan...................................................................................... 15

2. Saran................................................................................................ 15

DAFTAR PUSTAKA..................................................................................... 26

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Di dalam kehidupan kita sehari-hari, seringkali kita harus membuat suatu keputusan. Sebelum dapat membuat keputusan yang baik, lebih dulu kita harus dapat menarik suatu konklusi dari keadaan yang kita hadapi. Untuk mendapat konklusi yang tepat itulah diperlukan kemampuan menalar. Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada.  Kemampuan menalar ini sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Karena kemampuan menalar ini sumber dari sebagian besar pengetahuan kita. Aturan-aturan untuk dapat melakukan penalaran dengan cepat dapat dipelajari dengan logika.

Oleh sebab itu, penulis tertarik untuk menulis makalah yang yang berjudul “Hukum Aljabar Proposisi dan Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi, Ekuivalen Logis”.

2. Rumusan Masalah

Dalam makalah ini penulis mengidentifikasi masalah sebagai berikut:

a.       Hukum-hukum Aljabar Proposisi

b.      Pembuktian Hukum-hukum Aljabar Proposisi

c.       Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi,dan Ekuivalen Logis

BAB II

PEMBAHASAN

1.     Hukum-Hukum Aljabar Proposisi

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:

a.       Hukum Idempoten (Idem)

• p∨p ek p
• p∧p ek p

b.      Hukum Asosiatif (As)

• (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
• (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

c.       Hukum  Komutatif (Kom)

• p∨q ek q∨p
• p∧q ek q∧p

d.      Hukum Distributif (Dist)

• p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
• p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

e.       Hukum Identitas (Id)

• p∨F ek p
• p∨T ek T
• p∧F ek F
• p∧T ek p

f.       Hukum Komplemen (Komp)

• p∨∼p ek T
• p∧∼p ek F
• ∼(∼p) ek p
• ∼T ek F

g.      Hukum Transposisi (Trans)

·         p⇒q ek ∼q⇒∼p

h.      Hukum Implikasi (Imp)

·         p⇒q ek ∼p∨q

i.        Hukum Ekivalensi (Eki)

• p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)
• p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

j.        Hukum Eksportasi (Eksp)

·         (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

k.      Hukum De Morgan (DM)

• ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q
• ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

2.     Pembuktian Hukum-Hukum Aljabar Proposisi

a.       Hukum Idempoten (Idem)

• p v q ek p
• p ∧ p ek p

P	Q	p v q	p ^ q
B	B	B	B
B	S	B	S
S	B	B	S
S	S	S	S

b.      Hukum Asosiatif (As)

• (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

p	Q	r	Pvq	Qvr	pv(qvr)	(pvq)vr
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	B	B
B	S	B	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	B	B	B
S	S	B	S	B	B	B
S	S	S	S	S	S	S

• (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

p	Q	r	p^q	q^r	p^ (q^r)	(p^q) ^r
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S
B	S	B	S	S	S	S
B	S	S	S	S	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	B	S	S	S	S	S
S	S	B	S	S	S	S
S	S	S	S	S	S	S

c.       Hukum  Komutatif (Kom)

• p∨q ek q∨p
• p∧q ek q∧p

p	q	p v q	qvp	p ^ q	q ^ p
B	B	B	B	B	B
B	S	B	B	S	S
S	B	B	B	S	S
S	S	S	S	S	S

d.      Hukum Distributif (Dist)

• p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)

p	q	R	pvq	pvr	q^r	pv(q^r)	(pvq) ^ (pvr)
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	S	B	B
B	S	B	B	B	S	B	B
B	S	S	B	B	S	B	B
S	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	S	S	S
S	S	B	S	B	S	S	S
S	S	S	S	S	S	S	S

• p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

P	q	R	p^q	p^r	qvr	p^ (qvr)	(p^q) v (p^r)
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	B	B	B
B	S	B	S	B	B	B	B
B	S	S	S	S	S	S	S
S	B	B	S	S	B	S	S
S	B	S	S	S	B	S	S
S	S	B	S	S	B	S	S
S	S	S	S	S	S	S	S

e.       Hukum Identitas (Id)

• p∨F ek p
• p∨T ek T
• p∧F ek F
• p∧T ek p

 

p	S	B	p v S	p v B	p ^ S	p ^ B
B	S	B	B	B	S	B
S	S	B	S	B	S	S

f.       Hukum Komplemen (Komp)

• p∨∼p ek B
• p∧∼p ek S
• ∼(∼p) ek p
• ∼B ek S

p	~ p	~(~ p)	B	~B	S	p v ~p	p ^ ~p
B	S	B	B	S	S	B	S
S	B	S	B	S	S	B	S

g.      Hukum Transposisi (Trans)

·         p→q ek ∼q→∼p

p	Q	~ q	~ p	p → q	~q → ~p
B	B	S	S	B	B
B	S	B	S	S	S
S	B	S	B	B	B
S	S	B	B	B	B

h.      Hukum Implikasi (Imp)

·         p→q ek ∼p∨q

p	Q	~ p	p → q	~p v q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

i.        Hukum Ekivalensi (Eki)

• p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)

p	q	p⇔q	(p⇒q)	(q⇒p)	(p⇒q)∧(q⇒p)
B	B	B	B	B	B
B	S	S	S	B	S
S	B	S	B	S	S
S	S	B	B	B	B

• p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

P	q	∼q	∼p	p⇔q	(p∧q)	(∼q∧∼p)	(p∧q)∨(∼q∧∼p)
B	B	S	S	B	B	S	B
B	S	B	S	S	S	S	S
S	B	S	B	S	S	S	S
S	S	B	B	B	S	B	B

j.        Hukum Eksportasi (Eksp)

·         (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

P	q	r	(p∧q)	(p∧q)⇒r	(q⇒r)	p⇒(q⇒r)
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S
B	S	B	S	B	B	B
B	S	S	S	B	B	B
S	B	B	S	B	B	B
S	B	S	S	B	S	B
S	S	B	S	B	B	B
S	S	S	S	B	B	B

k.      Hukum De Morgan (DM)

• ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q

p	q	∼q	∼p	(p∨q)	∼(p∨q)	∼p∧∼q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	B	S	S	B	B
S	B	S	B	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

• ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

P	q	∼q	∼p	(p∧q)	∼(p∧q)	∼p∨∼q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	B	S	S	B	B
S	B	S	B	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

3.      Ekuivalensi , Tautologi , Kontradiksi, Kontingensi dan Ekuivalen Logis

a.        Ekuivalensi

Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika, jika memiliki nilai kebenaran yang sama dan dinotasikan A ≅ B.

Tabel kebenaran Ekuivalensi

P	Q	~ p	p→q	~ p v q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

Ekuivalensi

b.      Tautologi

Tautology adalah suatu pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran yang selalu benar .

Tabel Kebenaran Tautologi P → ( p v q )

P	Q	p v q	P → ( p v q )
B	B	B	B
B	S	B	B
S	B	B	B
S	S	S	B

c.       Kontradiksi

Kontradiksi adalah suatu prnyataan majemuk yamg memiliki nilai kebenaran yang selalu salah.

Tabel Kebenaran Kontradiksi

P	Q	~q	p^q	p→~q	( p^q ) ^ ( p→ ~q )
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	S
S	B	S	S	B	S
S	S	B	S	B	S

d.      Kontingensi

Kontingensi adalah suatu pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang benar dan salah.

Tabel Kebenaran Kontingensi

P	Q	R	Pvq	(pvq)→r
B	B	B	B	B
B	B	S	B	S
B	S	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	B	B
S	B	S	B	S
S	S	B	B	B
S	S	S	S	B

5. Ekuivalen Logis

Suatu ekspresi logika disebut ekuivalen logis apabila :

1)      Ekspresi logikanya adalah tautologis

2)      Ekspresi logikanya adalah kontradiksi

3)      Ekspresi logikanya adalah contingent, tetapi urutan T dan F pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama

Contoh-contoh soal

1.        p→q

~ p

p∴~q

Argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk iplikasi sebagai berikut .

[( p →q ) ^ ~p ] →~q

Tabel Kebenaran dari [( p →q ) ^ ~p ] →~q

P	Q	~p	~ q	p→q	( p→q)^~p	[(p→q)^~p]→~q
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	B	S
S	S	B	B	B	B	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa [( p →q ) ^ ~p ] →~q merupakan kontingensi . dengan demikian modus tollens merupakan argumentasi yang tidak sah .

2.        ~q →~p

p
∴ q

argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi sebagai berikut .

[( ~q → ~ p ) ^ p ] → q

Tabel Kebenaran dari [( ~q → ~ p ) ^ p ] → q

p	q	~p	~q	~q → ~p	( ~q → ~p ) ^ p	[ (~q → ~p ) ^ p ] →q
B	B	S	S	B	B	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	S	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa [( ~q → ~ p ) ^ p ] → q merupakan tautologi . dengan demikian modus pollens merupakan argumentasi yang sah .

3.        ~p v q

p

∴ q

Argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam implikasi sebagai berikut.

[ ( ~p v q ) ^ p ] →q

Tabel kebenaran [ ( ~p v q ) ^ p ] →q

P	q	~p	~p v q	(~p vq ) ^ p	[ ( ~p v q ) ^ p ] →q
B	B	S	B	B	B
B	S	S	S	S	B
S	B	B	B	S	B
S	S	B	B	S	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa [ ( ~p v q ) ^ p ] →q merupakan suatu Tautologi .Dengan demikian modus ponens merupakan argumentasi yang sah.

4.         Pvq

q→r

∴ ~p→r

Argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi sebagai berikut.

( p v q ) ^ ( q v r ) →( ~p → r )

Tabel kebenaran ( p v q ) ^ ( q v r ) →( ~p → r )

P	q	r	~p	(pvq )	(q→r )	~p → r	( p v q ) ^ ( q→ r )	( p v q ) ^ (q v r ) → ( ~p → r )
B	B	B	S	B	B	B	B	B
B	B	S	S	B	S	B	S	B
B	S	B	S	B	B	B	B	B
B	S	S	S	B	B	B	B	B
S	B	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	B	S	S	S	B
S	S	B	B	S	B	B	S	B
S	S	S	B	S	B	S	S	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa ( p v q ) ^ ( q v r ) →( ~p → r ) merupakan suatu Tautologi .Dengan demikian silogisme merupakan argumentasi yang sah.

BAB III

PENUTUP

1.      Kesimpulan

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:

• Hukum Idempoten (Idem)
• Hukum Asosiatif (As)
• Hukum  Komutatif (Kom)
• Hukum Distributif (Dist)
• Hukum Identitas (Id)
• Hukum Komplemen (Komp)

·         Hukum Transposisi (Trans)

·         Hukum Implikasi (Imp)

·         Hukum Ekivalensi (Eki)

·         Hukum Eksportasi (Eksp)

·         Hukum De Morgan (DM)

Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika, jika memiliki nilai kebenaran yang sama.Tautology adalah suatu pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran yang selalu benar. Kontradiksi adalah suatu prnyataan majemuk yamg memiliki nilai kebenaran yang selalu salah. Kontingensi adalah suatu pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang benar dan salah.  Suatu ekspresi logika disebut ekuivalen logis apabila :

a.       Ekspresi logikanya adalah tautologis

b.      Ekspresi logikanya adalah kontradiksi

c.       Ekspresi logikanya adalah contingent, tetapi urutan T dan F pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama

2.      Saran

Penulis menyadari dalam penyusunan makalah ini banyak mengalami kekurangan, karena keterbatasan ilmu yang penulis miliki. Oleh karena itu, penulis sangat membutuhkan sumbangan pemikiran dan saran dari pembaca demi membangun suatu makalah yang lebih baik lagi.

DAFTAR PUSTAKA

Theresia dan Seputro, Tirta. 1989. Pengantar Dasar Matematika (Logika dan Teori Himpunan).  Jakarta: Departemen Pendidikan dan kebudayaan Direktorat Jenderal pendidkan Tinggi Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan.

http://www.gudangmateri.com/2009/12/tautologi-kontradiksi-contingent-dan.html